Truthmakers I: Un Nouvel Espoir

Parenthèse
(Il y a de quoi se perdre au milieu des divers épisodes de Star Wars, entre les anciens épisodes ultérieurs et les nouveaux épisodes antérieurs; je suivrai ici l'ordre chronologique dans lequel Lucas a produit l'ensemble, d'autant que nous entrerons toujours plus en détail dans la logique métaphysique, au point de revenir à l'origine des textes sur les notions ambivalentes de vérité et de fausseté. Mais ne remontons pas si loin de suite, et suivons plutôt un ordre pégagogique des choses.)


Voici l'origine de l'article dont j'ai parlé le 30 du mois dernier (cf. "'Truthmakers': expliquons, avant de répliquer"), paru en décembre dans The Reasoner et qui m'a permis d'aborder plusieurs thèmes croisés: vérité, truthmaker, modalités épistémiques, assertion, négation.
L'histoire commence longtemps avec Jean-Claude, lorsque Aristote constata que certaines de ses propres lois logiques seraient menacées par un problème d'indéterminisme des événements futurs. Lorsque contingence et liberté se mêlent à la recherche des vérités premières ... un problème toujours d'actualité, la preuve. Comment évacuer le vieux problème du vieux fantôme Stagirite?
Dernière tentative à ma connaissance: un article écrit par Craig Bourne au sujet de l'argument de la bataille navale Problème: comment maintenir la validité du tiers exclu dans un contexte non-bivalent? Traduction: comment démontrer qu'il y a aura ou non une bataille navale sans s'engager sur aucun des deux termes de l'alternative. Un vieux problème de vérifonctionnalité que van Fraassen avait "résolu" (ou plutôt: dissout) en termes de supervaluation. Mais voilà que je m'égare, comme dirait le cow boy amateur de salsepareille dans ''The Big Lebowski" ...
J'arrête les commentaires et vous laisse loisir de lire l'article suivant de Bourne (traduction de moi).


Référence:
Craig Bourne, "Future contingents, non-contradiction, and the law of excluded middle muddle", Analysis 64(2), 2004, pp. 122–8


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Les futurs contingents, la non-contradiction et la loi du tiers exclu sans dessus dessous
par Craig Bourne


Pour quelque raison que ce soit, nous pourrions penser que les affirmations contingentes au sujet du futur n’ont pas de valeur de vérité déterminée. Dans De Interpretatione IX, par exemple, Aristote a soutenu que seules les propositions portant sur le futur qui sont nécessairement vraies, nécessairement fausses ou "prédéterminées" d’une certaine manière ont une valeur de vérité déterminée. Ceci a conduit Łukasiewicz à concevoir en 1920 une logique trivalente dans une tentative de formaliser la position d’Aristote, en donnant la valeur de vérité 1/2 = indéterminé aux futurs contingents et en définissant "~", "&" et "V", où 1 = vrai et 0 = faux

v(~1)=0; v(~1/2)=1/2; v(~0)=1
v(1&1)=1; v(1&1/2)=1/2; v(1&0)=0; v(1/2&1)=1; v(1/2&1/2)=1/2; v(1/2&0)=0; v(0&1)=0; v(0&1/2)=0; v(0&0)=0
v(1V1)=1; v(1V1/2)=1; v(1V0)=1; v(1/2V1)=1; v(1/2V1/2)=1/2; v(1/2V0)=1/2; v(0V1)=1; v(0V1/2)=1/2; v(0V0)=0

Nous pouvons constater que les entrées purement déterminées s’accordent avec les tables du système bivalent classique; ainsi, ce sont les autres entrées qui exigent une justification. Prenons la négation à titre d’exemple. Nous pouvons traiter l’indétermination comme une chose résolue d’une manière ou d’une autre: on aura au final soit le vrai, soit le faux. La valeur de vérité de la négation d’une proposition indéterminée doit être elle-même indéterminée puisque, si la proposition initiale peut être résolue d’une manière ou d’une autre, il doit en aller de même pour sa négation. Ce raisonnement justifie de façon similaire les entrées "1/2" dans les autres tables.

Or ce système fonctionne sans peine pour la plupart des cas d’affirmations contingentes futures. Supposons par exemple que je dise :

(1) Je noierai mon chagrin ou j’achèterai une Ducati 916.

Nous aurions tendance à penser intuitivement que si les deux membres de la disjonction sont indéterminés, alors la disjonction d’ensemble doit être indéterminée. C’est précisément la réponse donnée par les tables de vérité de Łukasiewicz. Les difficultés commencent toutefois lorsque nous envisageons les cas où un membre de la disjonction est la négation de l’autre. Supposons en effet que je dise

(2) J’achèterai une Ducati ou je n’achèterai pas une Ducati.

Parce que l’on n’y trouve aucune position intermédiaire – soit j’achèterai soit je n’achèterai pas une Ducati– nous devons admettre que (2) est vraie de façon déterminée. Le problème est que les deux membres de la disjonction sont des propositions contingents futures, donc indéterminées; mais en vertu des tables de Łukasiewicz, la disjonction d’ensemble doit donc être indéterminée. Le système de Łukasiewicz nous donne la mauvaise réponse.

Or non seulement la loi du tiers exclu pV~p n’est plus une vérité logique dans ce système, mais la loi de non-contradiction ~(p&~p) ne l’est plus également, car elle prend elle aussi la valeur 1/2 lorsque p = 1/2. Par ailleurs, ce système ne peut pas être non plus la formalisation correcte d’Aristote puisque, comme on l’a remarqué, les vérités nécessaires telles que pV~p ont pour Aristote la valeur déterminée = vrai.

Aristote avait-il produit une si horrible confusion, pensant qu’il serait possible d’avoir une logique non-bivalente tout en maintenant les lois du tiers exclu et de la non-contradiction à titre de vérités logiques? W. et M. Kneale (1962: 47ff.) le pensent, et Quine qualifie de "fantaisie" le souhait d’Aristote. Je ne suis pas d’accord: adopter une logique non-bivalente ne doit pas avoir pour résultat l’abandon des lois du tiers exclu et de la non-contradiction. A la lumière de notre discussion menée jusqu’ici, il y a deux options en vue d’une solution à ce problème: soit nous adoptons le système de Łukasiewicz et nous abandonnons une autre hypothèse, soit nous concevons un nouveau système.

Tooley (1997) opte pour la première. Il adopte le système de Łukasiewicz, mais l’hypothèse qu’il abandonne est celle voulant que les connecteurs de la logique trivalente soient vérifonctionnels. Ceci parce que, par exemple, certaines disjonctions pVq composées de membres indéterminés sont indéterminés, tandis que d’autres pV~p sont vraies de façon déterminés. La valeur de vérité de l’énoncé d’ensemble n’est donc pas une fonction de ses parties composantes en logique trivalente. C’est là une réaction assez normale: certains énoncés sont différents des autres, pensons-nous, précisément parce qu’ils sont vrais simplement en vertu de leur forme (ce que Tooley appelle des "vérités logiques" (139)), alors que d’autres exigent des vérifacteurs extérieurs à la proposition pour les rendre vraies (ce que Tooley appelle des "vérités factuelles" (139)).

Mais bien que cette solution puisse paraître séduisante au départ, elle n’est pas satisfaisante. Car il reste à nous demander pourquoi de tels énoncés ont un statut privilégié en logique trivalente. Qu’y a-t-il de si particulier dans ces énoncés pour que Tooley se sente justifié de les considérer comme vrais de façon déterminée, afin d’en tirer la conclusion que les connecteurs de la logique trivalente doivent donc être non-vérifonctionnels? Nul doute qu’il y a des vérités logiques en logique bivalente; elles sont vraies pour toute assignation de valeurs de vérité aux parties composantes, et c’est ce qui justifie que nous les privilégiions. Mais au vu des tables de vérité pour les connecteurs de la logique trivalente, les énoncés "pV~p" et "~(p&~p)" ne sont pas vrais pour toutes les interprétations possibles ; elles ne sont pas "vraies en vertu de leur forme", donc en quel sens sont-elles des vérités logiques ? En d’autres termes, pourquoi Tooley pense-t-il que ce sont des vérités nécessaires, étant donné qu’il pense que le monde est gouverné par la logique trivalente? Je ne me l’explique pas.

Nous devrions donc prendre la seconde option: concevoir un système différent de celui de Łukasiewicz. Les systèmes qui suivent nous permettent de maintenir les connecteurs vérifonctionnels, nous permettent de maintenir les lois du tiers exclu et de la non-contradiction au titre de vérités logiques, ils n’introduisent pas de distinction entre les vérités logiques et les vérités factuelles, et ils nous permettent de maintenir la notion de vérité logique pour toute interprétation, à la fois pour la logique bivalente et la logique trivalente. Cela avec la non-bivalence! C’est donc là quelque chose dans l’esprit de ce que nous cherchions.

La solution repose sur l’observation suivante : c’est la définition de "~" qui crée la difficulté. Nous devrions donc arrêter de rafistoler les déficiences manifestes du système de Łukasiewicz (comme le fait Tooley) et traiter le problème directement à la racine. Non seulement la définition par Łukasiewicz de "~" crée la difficulté, mais je ne vois aucune raison de penser qu’elle est correcte, et la modifier ne la sauve donc pas des eaux. J’affirme que la table de vérité qui suit est plus appropriée:

v(~1)=0; v(~1/2)=1; v(~0)=1

La justification pour l’entrée ~(1/2)=1 est la suivante: étant donné que p est indéterminé, alors ce n’est pas le cas que p; dire que ce n’est pas le cas que p revient donc clairement à dire quelque chose de vrai. Ainsi, il n’y a pas de justification au fait de soutenir que la négation d’une proposition ne peut être vraie que si cette proposition est fausse, comme dans le système de Łukasiewicz.

Une telle définition de "~" est employée dans le système ‘externe’ de Bochvar (1938), qui définit également "&" et "V" par:

v(1&1)=1; v(1&1/2)=0; v(1&0)=0; v(1/2&1)=0; v(1/2&1/2)=0; v(1/2&0)=0; v(0&1)=0; v(0&1/2)=0; v(0&0)=0
v(1V1)=1; v(1V1/2)=1; v(1V0)=1; v(1/2V1)=1; v(1/2V1/2)=0; v(1/2V0)=0; v(0V1)=1; v(0V1/2)=0; v(0V0)=0

Bochvar utilisa celui-ci dans le but de résoudre certains paradoxes de la logique classique et de la théorie des ensembles, et Halldén (1949) utilise ces tables pour développer des systèmes en vue de traiter le vague et la logique du non-sens; c’est donc un système qui est bien compris. De plus, c’est un système trivalent où les lois classiques demeurent valides. Cela étant, il y a dans les tables de vérité de Bochvar de sérieux inconvénients pour ce que nous voulons faire. Car en effet, si nous adoptons ces tables de vérité, pourquoi est-ce que, sous la composition, nous perdons les valeurs de vérité indéterminées? Il y a de bonnes raisons pour que cela se produise en vue de ce que Bochvar veut faire, mais ses préoccupations ne sont pas les nôtres. Dans le but de concevoir un système plausible pour les futurs contingents, ainsi que nous l’avons vu dans (1) ci-dessus, nous voulons que certains énoncés composés avec des membres indéterminés demeurent indéterminés. Ce n’est pas le système qu’il nous faut.

La solution est toutefois claire, désormais. Ainsi qu’on l’a noté, c’était la définition de "~" qui a créé la difficulté dans le système de Łukasiewicz. Mais comme nous l’avons vu avec (1), le reste du système de Łukasiewicz fonctionne bien. Donc si nous concevons un système basé sur ces deux caractéristiques souhaitables, alors les lois de non-contradiction et du tiers exclu demeurent des vérités logiques – et s’en sortent qui plus est avec l’apparence de conséquences naturelles d’un raisonnement indépendant intuitif, à la différence du raisonnement de Tooley – et les valeurs de vérité des propositions moléculaires demeurent intuitives. Ainsi, ceux qui souhaitent conserver une logique non-bivalente pour les futurs contingents peuvent le faire de façon probante sans devoir abandonner ces lois logiques, en procédant avec les tables de vérité suivantes :

v(~1)=0; v(~1/2)=1; v(~0)=1
v(1&1)=1; v(1&1/2)=1/2; v(1&0)=0; v(1/2&1)=1; v(1/2&1/2)=1/2; v(1/2&0)=0; v(0&1)=0; v(0&1/2)=0; v(0&0)=0
v(1V1)=1; v(1V1/2)=1; v(1V0)=1; v(1/2V1)=1; v(1/2V1/2)=1/2; v(1/2V0)=1/2; v(0V1)=1; v(0V1/2)=1/2; v(0V0)=0

Je considère également que l’interprétation de "P=>Q" la moins contestable est "~(P & ~Q)", auquel cas :

v(1=>1)=1; v(1=>1/2)=0; v(1=>0)=0; v(1/2=>1)=1; v(1/2=>1/2)=1; v(1/2=>0)=1; v(0=>1)=1; v(0=>1/2)=1; v(0=>0)=1

Un commentaire s’impose, toutefois. Soit F (interprété "Ce sera le cas que") un opérateur de temps futur appliqué à des propositions de temps présent. Prenons la proposition

(3) Le docteur Foster ira à Gloucester

et la proposition

(4) Le docteur Foster n’ira pas à Gloucester.

On peut penser que si l’on assigne 1/2 à (3), alors la valeur 1 doit être assignée à (4) – même si Le docteur Foster finit par aller à Gloucester! Qu’est-ce qui ne va pas, alors? Je dis que rien; et cela va de soi tant que nous comprenons ces propositions comme il faut. A l’évidence, la proposition (3) doit être analysée comme suit :

(3*) F(le docteur Foster va à Gloucester)

La prudence est de mise dans l’analyse de (4), si nous exigeons qu’elle soit la négation de (3). L’analyse incorrecte est celle où l’opérateur de temps futur a une portée large sur la proposition de temps présent :

(4×) F~(le docteur Foster va à Gloucester).

La raison pour laquelle celle-ci doit être l’analyse incorrecte de la négation de (3) est claire: la proposition de temps présent disant que Le docteur Foster va à Gloucester a une valeur de vérité déterminée – elle est soit vraie soit fausse, selon qu’il y a ou non un fait présent dans lequel le docteur Foster va à Gloucester et qui la rend vraie. La négation de cette proposition – Le docteur Foster ne va pas à Gloucester – est soit vraie soit fausse de manière déterminée, également. Mais parce que ces propositions tombent dans la portée de l’opérateur de temps futur, (3*) et (4×) ont globalement la valeur ‘indéterminé’. Or cela ne détruit pas la loi du tiers exclu, parce que la proposition de temps futur (4×), i.e. (4×) pris globalement, n’est pas la négation de la proposition de temps futur (3*), i.e. (3*) pris globalement,– cela n’a pas la moindre importance que la proposition de temps présent enchâssée dans (4×) est la négation de la proposition de temps présent enchâssée dans (3*). Nous pouvons également représenter (3*) par p et (4×) par q pour souligner le fait que la paire (3*) et (4×) n’est pas un contre-exemple à pV~p. L’analyse correcte de la négation de (3) est :

(4*) ~F(Le docteur Foster va à Gloucester)

qui est de forme ~p, comme voulu. Il me semble que (4*) dit clairement quelque chose de vrai, dans la mesure où ce n’est pas le cas que p. Mais bien entendu, dire que (4*) est vrai n’est pas dire que le docteur Foster n’ira pas à Gloucester. Cela reviendrait à confondre (4*) et (4×), ce qui serait une bévue : dire que ce n’est pas le cas que p n’est pas dire que q! Ainsi, même s’il s’avère que le docteur Foster va bel et bien à Gloucester, nous devrions être cependant en droit d’assigner la vérité à (4*). (Il pourrait toutefois être trompeur d’assigner la vérité à (4*), en raison de l’ambiguïté de portée et du reste (voir par ex. Grice 1989: Partie I; Jackson 1987), mais cela n’invalide en rien mon raisonnement.)

Cela nous permet de traiter un problème légèrement différent. Considérons:

(5) F(pV~p)

Puisque pV~p tombe dans la portée de l’opérateur de temps, cela signifie-t-il que nous devrions assigner à (5) une valeur de vérité indéterminée ? Heureusement que non, puisque (5) est clairement vraie. La raison à cela est que l’opérateur de temps futur ne rend les affirmations indéterminées que lorsqu’il opère sur des propositions contingentes; puisque les vérités logiques sont une espèce de vérité nécessaire, (5) est donc vraie.
Et mes raisons de dire que pV~p est une vérité logique sont les mêmes raisons que celles données ci-dessus. Ce que cela signifie, c’est que nous ne pouvons pas accepter l’équivalence :

(6) F(pVq) = FpVFq

que nous devrions être en droit de rejeter, puisque si nous prenons q = ~p nous pouvons constater que (6) assimile à tort (4×) à (4*).
Ce système a des caractéristiques notoirement classiques : à partir de simples tests de valeur de vérité nous pouvons constater que "&" et "V" sont à la fois commutatifs et associatifs ; "P=>P" est vraie (à la différence des systèmes entiers de Łukasiewicz et de Bochvar !) ; "P=>Q" équivaut à "~Q=>~P"; les lois distributives [(PV(Q&R)) = ((PVQ) & (PVR)) et (P & (QVR)) = ((P&Q) V (P&R))] sont valables; et les lois de de Morgan sont valables sous une forme [(~(P&Q) = (~PV~Q)) et ~(PVQ) = (~P & ~Q)], bien que, en raison de la définition de la négation, nous perdrions l’équivalence entre "&" et "V" de forme "P&Q = ~(~PV~Q)" et "~(~P&~Q) = (PVQ)", ainsi que l’équivalence "(~P&Q) = (P=>Q)", en raison du cas où P = 1 et Q = 1/2. Il faut dire également que, comme c’est si souvent le cas avec les systèmes multivalents (dont ceux de Łukasiewicz antérieurs aux travaux de Słupecki (1936)), ce système n’est pas fonctionnellement complet. Mais les sortes de fonctions de vérité qui ne peuvent pas être engendrées par les connecteurs de ce système n’ont aucune application, et peuvent donc être ignorées.

Ainsi, tant que le docteur Foster ne tombe pas dans la confusion avec la loi du tiers exclu, il est possible d’avoir ce qu’Aristote souhaitait, à savoir une logique non-bivalente où les lois classiques demeurent intactes. C’est donc en vérité ce système que l’on doive connaître comme le "système classique de la logique trivalente", et non celui de Łukasiewicz tel que présenté par Prior (1953: 317)1.


Références
Aristotle. De Interpretatione. Translated by E. M. Edghill from The Works of Aristotle, ed. W. D. Ross.
1952. Chicago: Encyclopædia Britannica, Inc.
Bochvar, D. A. 1938. "Ob odnom tréhznacnom iscislénii i égo priménénii k analizu paradosov klassiéskogo ras irennogo funkcjonalnoga is islénia" ("On a three-valued calculus and its application to analysis of paradoxes of classical extended functional calculus"). Matématicéskij Sbornik 4: 287–308.
Grice, H. P. 1989. Studies in the Way of Words. Cambridge, Mass.; London: Harvard University Press.
Halldén, S. 1949. The Logic of Nonsense. Uppsala: Uppsala Universitets Arsskrift.
Jackson, F. 1987. Conditionals. Oxford: Blackwell.
Kneale, W. and M. 1962. The Development of Logic. Oxford: Clarendon Press.
Łukasiewicz’s, J. 1920. "On three-valued logic". In Polish Logic 1920–1939, ed. S. McCall, 1967: 16-18. Oxford: Clarendon Press; and in Selected Works, ed. L. Borkowski, 1970: 87–88. Amsterdam: North Holland.
Prior, A. N. 1953. "Three-valued logic and future contingents". Philosophical Quarterly 3: 317–26.
Słupecki, J. 1936. "Der volle dreiwertige Aussagenkalkül". Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie Cl. III 29: 9–11; English tr. The full many-valued propositional calculus. In Polish Logic 1920–1939, ed. S. McCall, 335–37. Oxford: Clarendon Press.
Tooley, M. 1997. Time, Tense, and Causation. Oxford: Oxford University Press.

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La mauvaise étoile (noire, s'entend) du vieil Aristote a-t-elle été définitivement détruite par le vaillant Bourne? Risque-t-elle au contraire de se reconstituer par une nouvelle objection au tiers exclu? Les aristotéliciens sauront-ils vaincre leur peur de la non-vérifonctionnalité en terre trivalente?
Réponse dans le prochain billet ("Truthmakers II: l'Attaque du Clone"). Et que la force soit avec vous ...

Pactisons en attendant avec la Force qui va Mal ... Chad Vador au rayon charcuterie:




F&H